前言

原文地址：http://hypirion.com/musings/understanding-persistent-vector-pt-3

为什么翻译这系列博客？一直觉着翻译是学习的笨功夫，阅读一遍可能理解了概要，但是其实还是有很多细节遗漏了，翻译这个过程可以查缺补漏，更重要的是，我想重新写博客了 :D。

正文

关于 Clojure Persistent vectors 这个系列博客的 [Part 1](http://blog.fnil.net/blog/c9ce36719a8e37188fc51d27ca482504/ 翻译:深入理解 Clojure Persistent Vectors 实现 Part 1)和 [Part 2](http://blog.fnil.net/blog/3a2ce94a8eecdeffec608b6a6ed6f190/ 翻译：深入理解 Clojure Persistent Vectors 实现 Part 2) 应该可以让你对 persistent vector 的工作原理的有个大概的了解，但是，其实这里仍然有许多不同的方法可以消减（算法）的常数因子（的影响）。可能最容易理解的部分是尾部（tail），我们将在这篇博客里介绍。

尾部的基本原理

回想下 (conj [1 2 3 4] 5) 这个操作的可视化展示，没有任何尾部实现时：如果在最右叶子节点有空间，我们仅需要拷贝向下到达该叶子节点的路径，并将最后这个新元素插入到拷贝中。

有尾部的时候会有什么不同呢？让我们瞧下：

不再是在树里面保存最右叶子节点，取而代之，我们在 vector 的头部(header)就持有一个它的直接引用：这是上篇博客后加入 vector 头部的最后部分。指向最右叶子节点的引用称为尾部。

对于 conj 操作，我们以检测尾部有没有足够空间而告终。因为这里刚好是这种情况 —— 我们拷贝了尾部，并将新元素插入其中。请注意这是常量时间，不是_近乎_常量时间。所以，每次在尾部有空余空间的时候，我们 conj 新元素到 vector 的时候，我们都是在做常量时间的操作。

这使得批量操作变得特别快。如果你接连做大量的 conj 操作，结果是每个操作的耗时平均起来更少。对于一个分支因子是 2 的 vector， 1/2（50%） 的 conj 操作（平均起来）是常量时间。如果将分支因子替换成 32， 31/32 的所有 conj 操作都将实际上是常量时间。只有 3.1% 的操作是_近乎_常量时间，意味着我们得到一个相当显著的常数削减。对于连续的 disj 操作我们也得到同样的性能好处。

所以这看起来是非常吸引人的改进。但是我们如何实现它呢？

尾部偏移量（tail offset）

在我们了解如何实现实际操作之前，我们需要学习一个很容易理解的概念：一个 vector 的_尾部偏移量_。为了理解 vector 一些操作需要做的修改，我们需要了解这个概念。

尾部偏移量其实就是元素在一棵树里的总量（译者注：请注意，现在最右叶子节点不在树里了，而是在 vector 头部作为尾部存在，因此树里的元素是减少了）。在实践中，就是 tail_offset = vector.length - tail.length。就是这么一个公式，没有比这个公式更多的解释了。我们需要尾部偏移量的理由是，有的时候我们需要回去执行『老的』操作：查找或者修改元素要求我们知道它们是不是在树里，或者是否在尾部里。

举一个尾部偏移量的例子，回想下前文提到的 5 个和 6 个元素的 vector。5 个元素的 vector 在它的尾部里只有一个元素，所以他的尾部偏移量是 4（译者注：vector 长度 5 减去尾部长度 1，结果为 4，后文类似）。拥有 6 个元素的 vector 的尾部偏移量也是 4， 因为它的 尾部引用有 2 个元素。

更多尾部偏移量的例子请参考上图中的两个 vector。拥有 7 个元素的 vector 的尾部偏移量是 6，而有 10 个元素的 vector 的尾部偏移量是 8。

查找

有没有尾部引用，对于在 vector 中查找一个值的过程来说并没有太大的不同。从根本上有两种情况要考虑：

• 我们想要查找的值在尾部。
• 我们想要查找的值在树里面。

这里就是我们需要使用到尾部偏移量的地方。查找过程写成伪代码看起来是这样：

if lookup_index < tail_offset:
  # tree_lookup = old lookup technique
  return tree_lookup(lookup_index)
else:
  return tail[lookup_index - tail_offset]

因为我们知道尾部偏移量就是元素在树里的总量，我们仅仅需要检查待查找的元素是否比尾部偏移量小。如果是，我们就执行『老的』查找过程，否则，我们知道它在尾部。在那种情况下，我们把索引减去尾部偏移量（这就是我们称之为偏移量的原因），然后使用计算得来的新的索引位置到尾部里查找。

更新

跟查找的实现类似，更新也跟原来的更新实现非常相似。唯一的区别发生在你想更新的值就在尾部里面。再次有两种情况：一是你要更新的值在树里面，另一个就是你要更新的是尾部。

if update_index < tail_offset:
  # tree_update is the old update technique
  return tree_update(update_index, elt)
else:
  vector_copy = copy_head(this)
  vector_copy.tail = copy_tail(this.tail)
  vector_copy.tail[lookup_index - tail_offset] = elt
  return vector_copy

首先，我们看下更新的元素在树里面的情况。我们仍然以 Part 1 里的老例子为例，更新索引位置 5 的元素：

(def brown [0 1 2 3 4 5 6 7 8])
(def blue (assoc brown 5 'beef))

这可以得到下面这棵树：

正如 Part 1 所解释的那样，我们做了路径拷贝并替换叶子节点上的元素。但是呢，注意到它们共享了尾部：毕竟，它没有变动，因此为什么要费心去拷贝它呢？

第二种情形是我们要修改的元素在尾部。让我们重用前面的例子，但是将索引位置修改 8：

(def brown [0 1 2 3 4 5 6 7 8])
(def blue (assoc brown 8 'beef))

这次看到我们拷贝了 vector 的『头部』和尾部，然后在它上面执行了修改操作。因为我们对树没有做任何修改，我们就可以和没有修改之前的 vector 共享树的部分。这个操作的耗时就是常量的，不是_近乎_常量级的。

插入

查找和更新都很简单，但是如果我们查看下插入和删除呢？没错，结果是它们也同样不难。对于插入来说，我们再次有两种情形要考虑，但是这次有一点点不同：

• 在尾部有足够空间。
• 在尾部没有空间了。

第一种情况非常容易：拷贝下尾部，在它的末尾插入新元素。这篇博客的第一幅图刚好就展示了它是如何工作的。但是当尾部没有足够空间的时候我们应该怎么办？

原理和 Part 1 描述的插入过程很像，但是有一点小修改：不再是插入一个单一的值，替代地，我们插入一个叶子节点。回想下，尾部就是一个叶子节点，被 vector 的根节点直接指向。

在上面的示例里，褐色 vector 的尾部已经满了：你没法往尾部插入更多的元素了。一个 conj 操作将创建蓝色的 vector，在那里面我们了解到我们必须将尾部本身插入树中。按照 Part 1 的规则，我们将尾部放入树里面，然后创建一个新的尾部用来存放新元素。

实际上，插入本身不需要更多解释了，并不难理解和掌握它。但是当一个实际的 vector 实现做插入的时候，需要特别小心处理索引。幸运地是，实现过程中需要面对的最大困难是所谓大小差一的错误（off-by-one error，译者注：也就是数组索引位置处理不当，通常在边界的时候多处理或者少处理了一个元素）。

删除

当处理删除的时候，我们面临一个设计上的抉择：某些情况下，我们不得不把叶子节点向上移动作为尾部。但是什么时候应该这样做呢？我们应该在 vector 里保留空的尾部吗？并且只有在对一个尾部已经为空的 vector 执行出队操作的时候才去向上移动叶子节点吗？或者，我们总是保留一个非空的尾部在 vector 中？

结果证明至少有两个理由要求我们保证在所有情况下尾部为空[1]：最显而易见的理由是你现在能够保证 peek 操作一定是常量时间的。另一个不那么明显的理由是随机查找，平均来说将更快：如果在尾部查找一个元素比在树里查找耗时更短，那么更好的是让尾部保持『满』的状态，而不是一个空的尾部。

因此，我们以 —— 你可能猜到了 —— 两种不同的情况处理来结束讨论：

• 在尾部，我们拥有多于一个的元素。
• 在尾部，我们只有一个元素。

正如我刚才提到的，不会有任何 vector 会在尾部没有元素（除了空的 vector 这种异常情况）。假设尾部至少有一个元素在完全没有问题的。

如果在尾部我们有多于一个的元素，我们只需要拷贝这个尾部，删除它的最后一个元素，然后返回新的 vector。上面的例子显示给我们只有尾部不同，正是我们预期的那样。

请记住如果我们对同一个 Persistent Vector 做两次出队操作，我们将创建两个尾部，尽管它们的内容是一样的：

如果我们在尾部只有一个元素，我们需要将树中的最右叶子节点『提升』为新的尾部，还要将它（译者注：最右叶子节点）从树上移除。这些步骤跟在没有尾部的 vector 执行查找和出队一个元素的操作相似，只是将查找和删除元素替换为查找和删除叶子节点。

最复杂的例子出现在你需要删除空的节点并干掉根节点，就像 Part1 描述的那样。但是，如果你按照 Part 1那里介绍的规则行事，并且将叶子节点当做『元素』，你会觉的还好处理。下面就是这么个例子，把最右叶子节点『提升』为根节点。

Next Up

这个系列的下一篇将解析 transient：我们为什么需要它们，以及它们的工作原理。最终这个系列博客的最后一篇博客将包含 ArrayList 和 Persistent Vector 的性能对比。

[1] 持有非空尾部的有没有什么不利的地方？从理论角度出发，空的 vector 将更多是一种边缘情况，因为它不符合这个规则（译者注：指尾部非空）。但是从实践角度出发，这没有关系。空的 vector 本来就是一种特殊情况，因此采用这个设计后，实现本身并不会更复杂。